If $\mathrm{f}$ is a function defined as $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+5,\mathrm{f}:(\frac{1}{2},\mathrm{\infty })\to (\frac{19}{4},\mathrm{\infty }),$ and $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ is its inverse function, then ${\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(7\right)$ is equal to 

$\mathrm{f}\left(\text{x}\right)={\text{x}}^2-\text{x}+5$

${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-1$
$\Rightarrow for\text{y}=7\text{, }\text{x}>\frac{1}{2}$

$\therefore 7={\text{x}}^2-\text{x}+5$

$\Rightarrow {\text{x}}^2-\text{x}-2=0$

$\Rightarrow \left(\text{x}-2\right)\left(\text{x}+1\right)=0$

$\Rightarrow \text{x}=-\text{1, 2}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{x}=2$ (as $\mathrm{x}=- 1$ is rejected)


$\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\&\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{ }\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f }\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r,}\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{ }}\right)\mathrm{ }\right).\left({\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right)=1\mathrm{ }$

substituting $\mathrm{x}=2$ in this equation,

we get, ${\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{f}\right(2\left)\right).{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(2\right) = 1$

$\Rightarrow {\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(\mathrm{f}\right(2\left)\right)=\frac{1}{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(2\right)}$
${\mathrm{g}}^{\text{'}}\left(7\right)=\frac{1}{2\left(2\right)-1}$

$=\frac{1}{3}\mathrm{ }(\mathrm{at}\mathrm{ }\mathrm{x}=2)$