Let $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ be three vectors mutually perpendicular to each other and have same magnitude. If a vector $\overrightarrow{r}$ satisfies $\overrightarrow{a}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{a}\}+\overrightarrow{b}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{b}\}+\overrightarrow{c}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{c}\}=\overrightarrow{0},$ then $\overrightarrow{r}$ is equal to:

Given:$\overrightarrow{a}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{a}\}+\overrightarrow{b}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{b}\}+\overrightarrow{c}\times \{\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{c}\}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})-(\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}\left)\right)\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{b})(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{b}·(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c}\left)\right)\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})-(\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}\left)\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}{|}^2\right(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})-(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a})\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{b}{|}^2(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{c}{|}^2\right(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})-(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}{|}^2\right[3\overrightarrow{r}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})]-[(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a})\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{c}\left)\overrightarrow{c}\right]=\overrightarrow{0} \left[\because |\overrightarrow{a}{|}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{c}{|}^2\right]$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}{|}^2\right[3\overrightarrow{r}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-\left(\overrightarrow{r}\right)]=\overrightarrow{0}\left[\because (\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a})\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{r}·\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\overrightarrow{r} , |\overrightarrow{a}{|}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{c}{|}^2\right]$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{r}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$

$\therefore \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$