In a triangle $ABC$, if ${\left(b+c\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)+{\left(b-c\right)}^2{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)=K\left(1-\cos 2A\right)$, then $K=$

$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.$

$={\left(b+c\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)+{\left(b-c\right)}^2{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)$

$=\left(b^2+c^2+2bc\right){\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)+\left(b^2+c^2+2bc\right){\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)$

$=\left(b^2+c^2\right)\left[{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)+{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]-2bc\left[{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]$

$=b^2+c^2-2bc\cos A$

$=a^2$

$\left[\because \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right]$

$=4R^2{\sin }^{2}A$

$\left[\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\right]$

$=2R^2\left(1-\cos 2A\right)$

So, $K=2R^2$.