Q112 / 160 · AP EAMCET 2006 · Mathematics

If $\int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} d x=g(x)+c$, then $g(x)$ is equal to :

  • A
    $\frac{2}{3} \cos ^{-1} x$
  • B
    $\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{x^3}{a^3}\right)$
  • Correct answer
    C
    $\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$
  • D
    $\frac{2}{3} \cos ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$

Solution

Let $I=\int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} d x$ $=\int \sqrt{\frac{a^3}{a^3-x^3}} \cdot \sqrt{\frac{a^3}{x^3}} \cdot \frac{x^3}{a^3} d x$ $=\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)+c$ But $\quad I=g(x)+c$ $\therefore \quad g(x)=\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$

Hence, the correct answer is option: 'C'.

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