Q65 / 120 · VITEEE 2015 · Mathematics

If $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ and $\mathrm{c}$ are three non-coplanar vectors, then $(\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}) \cdot[(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \times(\mathbf{b}-\mathbf{c})$ equals

  • A
    0
  • Correct answer
    B
    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}$
  • C
    $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \times \mathbf{b}$
  • D
    $3 \mathbf{a} . \mathbf{b} \times \mathbf{c}$

Solution

$[\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}] \cdot[(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \times(\mathrm{b}-\mathrm{c})$ $=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}) \cdot[\mathrm{a} \times \mathrm{b}-\mathrm{a} \times \mathrm{c}-\mathrm{b} \times \mathrm{b}+\mathrm{b} \times \mathrm{c}]$ $=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})+\mathrm{b}$ $(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{b}(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{b} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$ $+\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$ $=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{b} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$ $=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{b} \mathrm{a} \mathrm{c}]-[\mathrm{c} \mathrm{a} \mathrm{b}]$ $=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]+[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]$ $=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$

Hence, the correct answer is option: 'B'.

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