Q69 / 180 · KCET 2012 · Mathematics

Which of the following is incorrect? If $\mathrm{a} \equiv \mathrm{b}(\bmod \mathrm{m})$ and $\mathrm{x}$ is an integer, then

  • A
    $(a+x) \equiv(b+x)(\bmod m)$
  • B
    $(a-x) \equiv(b-x)(\bmod m)$
  • C
    $\mathbf{a x} \equiv \mathrm{bx}(\bmod \mathrm{m})$
  • Correct answer
    D
    $(a+x) \equiv(b \div x)(\bmod m)$

Solution

(i) $a \equiv b(\bmod m)$ $\Rightarrow \quad \mathrm{m} \mid(\mathrm{a}-\mathrm{b})$ $\Rightarrow \quad \mathrm{m} \mid(\mathrm{a}+\mathrm{x})-(b+\mathrm{x})$ $\Rightarrow \quad \mathrm{a}+\mathrm{x} \equiv \mathrm{b}+\mathrm{x}(\bmod \mathrm{m})$ (ii) $\mathrm{a} \equiv \mathrm{b}(\bmod \mathrm{m})$ $\Rightarrow \quad \mathrm{m} \mid(\mathrm{a}-\mathrm{b})$ $\Rightarrow \quad m \mid\{(a-x)-(b-x)\}$ $\Rightarrow \quad \mathrm{a}-\mathrm{x} \equiv \mathrm{b}-\mathrm{x}(\bmod \mathrm{m})$ (iii) $\mathrm{a} \equiv \mathrm{b}(\bmod \mathrm{m})$ $\Rightarrow \quad \mathrm{m} \mid(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \mathrm{x}$ $\Rightarrow \quad a x \equiv b x(\bmod m)$

Hence, the correct answer is option: 'D'.

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