Q226 / 270 · NDA 2017 (Phase 1) · Mathematics

What is $\int \frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}-1}\right) \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}$ equal to?

  • A
    $\frac{\mathrm{x}^2}{2}+\mathrm{c}$
  • B
    $\operatorname{In}(x+e)+c$
  • C
    $\operatorname{In}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c}$
  • Correct answer
    D
    $\frac{1}{\mathrm{e}} \operatorname{In}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c}$

Solution

$\begin{aligned} & \int \frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}-1}\right) \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} \\ & \text {Put } \mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\mathrm{t} \Rightarrow \mathrm{ex} \mathrm{e}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}} \\ & \Rightarrow\left(\mathrm{ex} \mathrm{e}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ & \therefore \int \frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}-1}\right) \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}=\frac{1}{\mathrm{e}} \int \frac{\mathrm{e} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{e}-1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} \cdot \mathrm{dx} \\ & =\frac{1}{\mathrm{e}} \int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}=\frac{1}{\mathrm{e}} \cdot \ln \mathrm{t}+\mathrm{c} \\ & =\frac{1}{\mathrm{e}} \cdot \ln \left(\mathrm{x}^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c}\end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'D'.

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