Q113 / 160 · TS EAMCET 2024 (11 May Shift 1) · Mathematics

$\int \frac{d x}{4+3 \cot x}=$

  • A
    $-\frac{3}{25} \log |4+3 \cot x|+\frac{4}{25} x+c$
  • Correct answer
    B
    $-\frac{3}{25} \log |4 \sin x+3 \cos x|+\frac{4}{25} x+c$
  • C
    $\frac{4}{25} \log |4 \sin x+3 \cos x|-\frac{3}{25} x+c$
  • D
    $\frac{4}{25} \log |4+3 \cot x|-\frac{3}{25} x+c$

Solution

$\begin{aligned} & I=\int \frac{d x}{4+3 \cot x}=\int \frac{\sin x d x}{4 \sin x+3 \cos x} \\ &= \int \frac{A(4 \cos x-3 \sin x)+B(4 \sin x+3 \cos x)}{(4 \sin x+3 \cos x)} d x \\ &= \int\left[\frac{(4 B-3 A) \sin x+(3 B+4 A) \cos x}{4 \sin x+3 \cos x}\right] d x \\ & 3 B+4 A=0 \Rightarrow A=\frac{-3 B}{4} \\ & \Rightarrow 4 B-3 A=1 \Rightarrow 4 B+\frac{9 B}{4}=1 \Rightarrow B=\frac{4}{25} \Rightarrow A=\frac{-3}{25} \\ & I= \frac{-3}{25} \int \frac{(4 \cos x-3 \sin x) d x}{4 \sin x \cos x}+\int \frac{4}{25} d x+C \\ &= \frac{-3}{25} \ln |4 \sin x+3 \cos x|+\frac{4}{25} x+C .\end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'B'.

Relevant Questions