Q60 / 160 · TS EAMCET 2017 · Mathematics

$\int x^4 e^{2 x} d x=$

  • Correct answer
    A
    $\frac{e^{2 x}}{4}\left(2 x^4-4 x^3+6 x^2-6 x+3\right)+C$
  • B
    $\frac{e^{2 x}}{2}\left(2 x^4-4 x^3+6 x^2-6 x+3\right)+C$
  • C
    $\frac{e^{2 x}}{8}\left(2 x^4+4 x^3+6 x^2+6 x+3\right)+C$
  • D
    $-\frac{e^{2 x}}{4}\left(2 x^4+4 x^3+6 x^2+6 x+3\right)+C$

Solution

Let $I=\int x^4 e^{2 x} d x$ $$ \begin{aligned} \Rightarrow I & =x^4 \int e^{2 x} d x-\int \frac{d x^4}{d x} \cdot \int e^{2 x} \cdot d x \cdot d x+C \\ & =\frac{x^4 \cdot e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int 4 x^3 e^{2 x} d x+C \\ \Rightarrow & \frac{x^4 e^{2 x}}{2}-2\left[\frac{x^3 e^{2 x}}{2}-\int \frac{3 x^2 e^{2 x}}{2} d x\right]+C \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & \Rightarrow \frac{x^4 e^{2 x}}{2}-x^3 e^{2 x}+3\left[\frac{x^2 e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int 2 x e^{2 x} d x\right]+C \\ & \Rightarrow \frac{x^4 e^{2 x}}{2}-x^3 e^{2 x}+\frac{3}{2} x^2 e^{2 x}-3 \\ & \qquad\left[\frac{x e^{2 x}}{2}-\int \frac{e^{2 x}}{2} d x\right]+C \\ & \Rightarrow \frac{x^4 e^{2 x}}{2}-x^3 e^{2 x}+\frac{3}{2} x^2 e^{2 x}-\frac{3}{2} x e^{2 x}+\frac{3 e^{2 x}}{4}+C \\ & \Rightarrow \frac{e^{2 x}}{4}\left[2 x^4-4 x^3+6 x^2-6 x+3\right]+C \end{aligned} $$

Hence, the correct answer is option: 'A'.

Relevant Questions