Q50 / 160 · TS EAMCET 2007 · Mathematics
The sum of the series
$\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots$
- A$\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}$
- Correct answerB$\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{3}{4}$
- C$\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}$
- D$\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{1}{4}$
Solution
Given series is
$\begin{aligned} & \frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots+\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \\ = & \frac{3}{4}+\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots-\frac{3}{4} \\ = & 1-\frac{1}{4}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 4}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3}+\ldots-\frac{3}{4} \\ = & {\left[1+1\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1(1+2)}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)^2\right.} \\ & \left.\quad+\frac{1(1+2)(1+4)}{3 \cdot 2}\left(-\frac{1}{4}\right)^3+\ldots\right]-\frac{3}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned} & =\left[1+\frac{1}{1 !}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1(1+2)}{2 !}\left(-\frac{1}{4}\right)^2+\right. \\ & \left.\quad \frac{1(1+2)(1+4)}{3 !}\left(-\frac{1}{4}\right)^3+\ldots .\right]-\frac{3}{4} \\ & =\left(1-\frac{1}{4}\right)^{-1 / 2}-\frac{3}{4} \\ & =\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{3}{4}\end{aligned}$
Hence, the correct answer is option: 'B'.