Q231 / 270 · NDA 2019 (Phase 1) · Mathematics

The solution of the differential equation $\frac{d y}{d x}=\cos (\mathrm{y}-\mathrm{x})+1$ is

  • Correct answer
    A
    $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}[\sec (\mathrm{y}-\mathrm{x})-\tan (\mathrm{y}-\mathrm{x})]=\mathrm{c}$
  • B
    $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}[\sec (\mathrm{y}-\mathrm{x})+\tan (\mathrm{y}-\mathrm{x})]=\mathrm{c}$
  • C
    $\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sec (\mathrm{y}-\mathrm{x}) \tan (\mathrm{y}-\mathrm{x})=\mathrm{c}$
  • D
    $e^x=c \sec (y-x) \tan (y-x)$

Solution

$\frac{d y}{d x}=\cos (y-x)+1$...(1) Let $\mathrm{y}-\mathrm{x}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{d y}{d x}-1=\frac{d t}{d x}$ $\therefore(1) \Rightarrow \frac{d t}{d x}+1=\cos t+1$ $\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d t}{d x}=\cos t \\ & \Rightarrow \sec t \cdot \mathrm{dt}=1 \cdot \mathrm{dx} \\ & \Rightarrow \int \sec t \cdot d t=\int 1 \cdot d x \\ & \Rightarrow \log |\operatorname{sect}+\tan t|=\mathrm{x}+\mathrm{c} \\ & \Rightarrow-\log |\sec t-\tan t|=\mathrm{x}+\mathrm{c} \\ & \Rightarrow \log |\sec t-\tan t|=-\mathrm{x}-\mathrm{c} \\ & \Rightarrow \log (\sec (\mathrm{y}-\mathrm{x})-\tan (\mathrm{y}-\mathrm{x})=-\mathrm{x}-\mathrm{c} \\ & \Rightarrow \sec (\mathrm{y}-\mathrm{x})-\tan (\mathrm{y}-\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{c}} \\ & \Rightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\sec (\mathrm{y}-\mathrm{x})-\tan (\mathrm{y}-\mathrm{x}))=\mathrm{c}\end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'A'.

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