Let $O$ be the origin and $\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{OB}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ and $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\lambda \overrightarrow{OA}\right)$ for some $\lambda >0.$ If $\left|\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}\right|=\frac{9}{2},$ then which of the following statements is (are) TRUE?

$\overrightarrow{OA}=2\widehat{i}+2\widehat{j}+\widehat{k}$

$\overrightarrow{OB}=\widehat{i}-2\widehat{j}+2\widehat{k}$

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\lambda \overrightarrow{OA}\right);\lambda >0$

$\left|\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}\right|=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OB}\times \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\lambda \overrightarrow{OA}\right)\right|=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OB}\times \left(\overrightarrow{OB}-\lambda \overrightarrow{OA}\right)\right|=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\lambda \left(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right)\right|=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \left|\frac{\lambda }{2}\left(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right)\right|=\frac{9}{2} ...\left(1\right)$

now, $\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right|$

$=6\widehat{i}-3\widehat{j}-6\widehat{k}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{36+9+36}=9 ...\left(2\right)$

Put in (1) $\left|\frac{\lambda }{2}\times 9\right|=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \left|\lambda \right|=1$

$\Rightarrow \lambda =\pm 1 \left(\because \lambda >0\right)$

$\Rightarrow \lambda =1$

$\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)$

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(-\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}\right)$

(A) 

Projection of $\overrightarrow{OC}$ on $\overrightarrow{OA}$

$=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}$

$=\frac{1}{2}\frac{\left(-\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}\right)\cdot \left(2\widehat{i}+2\widehat{j}+\widehat{k}\right)}{\sqrt{4+4+1}}$

$=\frac{1}{2}\frac{\left(-2-8+1\right)}{3}$

$=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2}$

(B) Area of $\Delta OAB=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right|$

$=\frac{9}{2}$ sq unit

(C) 

Area of   

$ABE=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$

$\overrightarrow{AB}=-\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{AC}=-\frac{5}{2}\hat{i}-4\hat{j}-\frac{\hat{k}}{2}$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& -4& 1\\ -\frac{5}{2}& -4& -\frac{1}{2}\end{array}\right|$

$=6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}$

$|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{36+9+36}=9$

Area of $∆ABC=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|$

$=\frac{9}{2} \mathrm{sq}.\mathrm{unit}$

(D)

Apply angle between diagonals $\overrightarrow{OD}$ & $\overrightarrow{CA}$

$\cos \theta =\frac{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right)}{\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right|\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right|}$

$\overrightarrow{a}=2\widehat{i}+2\widehat{j}+\widehat{k}$

$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\left(-\widehat{i}+4\widehat{j}+\widehat{k}\right)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\widehat{i}+\frac{3}{2}\widehat{k}$

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\frac{5}{2}\widehat{i}+4\widehat{j}+\frac{1}{2}\widehat{k}$

$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\frac{25}{4}+16+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{90}{4}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$

$\cos \theta =\frac{\frac{15}{4}+\frac{3}{4}}{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)}$

$=\frac{\frac{9}{2}}{\frac{9}{4}\times \sqrt{20}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{\pi }{3}$