Q60 / 90 · KVPY 2015 (SB/SX) · Mathematics
Let $a>0$ be a real number. Then the limit $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^{x}+a^{3-x}-\left(a^{2}+a\right)}{a^{3-x}-a^{x / 2}}$
is
- A$2 \log a$
- B$-\frac{4}{3} a$
- C$\frac{a^{2}+a}{2}$
- Correct answerD$\frac{2}{3}(1-a)$
Solution
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^{x}+a^{3-x}-\left(a^{2}+a\right)}{a^{3-x}-a^{x / 2}}$
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(a^{x}-a\right)\left(a^{x / 2}-a\right)\left(a^{x / 2}+a\right)}{\left(a-a^{x / 2}\right)\left(a^{2}+a^{x}+a^{x / 2} \cdot a\right)}$
$\lim _{x \rightarrow 2}-\frac{\left(a^{x}-a\right)\left(a^{x / 2}+a\right)}{a^{2}+a^{x}+a^{x / 2} \cdot a}$
$=\frac{2}{3}(1-a)$
Hence, the correct answer is option: 'D'.