Let $\overrightarrow{a}=\widehat{i}+\widehat{j}+\widehat{k}$, $\overrightarrow{b}=\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$ and $\overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$. If $\overrightarrow{S}$ be a unit vector, then the magnitude of the vector $\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)$ is equal to

Let $\overrightarrow{r}=\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{S}\right)\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)$
$\overrightarrow{S}$ can be written as a linear combination of $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{S}=x\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+y\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+z\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)$
Taking dot with $\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{a}=x\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\Rightarrow x=\frac{\overrightarrow{S}·\overrightarrow{a}}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$
Taking dot with $\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{b}=y\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\Rightarrow x=\frac{\overrightarrow{S}·\overrightarrow{b}}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$
Similarly $z=\frac{\overrightarrow{S}·\overrightarrow{c}}{\left[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}\right]}$
Hence $\overrightarrow{S}=\frac{\left(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{a}\right)\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+\left(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}{\left[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}\right]}$
$\Rightarrow \overrightarrow{r}=\overrightarrow{S}\left[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}\right]$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{r}\right|=\left|\overrightarrow{S}\right|\left|\left[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}\right]\right|$
$=1\left|\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 4& -1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\right|$
$=\left|1\left(9\right)-1\left(3\right)+1\left(-3\right)\right|$
$=3$