Q89 / 180 · KCET 2009 · Mathematics

$\int \mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{x}}\left(1+\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}}\right) \mathrm{dx}$ is equal to

  • Correct answer
    A
    $x e^{\tan ^{-1} x}+c$
  • B
    $\mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{x}}+\mathrm{c}$
  • C
    $\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{x}}+\mathrm{c}$
  • D
    $\frac{1}{2} \mathrm{xe}^{\tan ^{-1} \mathrm{x}}+\mathrm{c}$

Solution

Let $I=\int e^{\tan ^{-1} x}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) d x$ $=\int e^{\tan ^{-1} x} d x+\int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x$ $=x e^{\tan ^{-1} x}-\int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x+\int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x+c$ $=x e^{\tan ^{-1} x}+c$

Hence, the correct answer is option: 'A'.

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