Q85 / 180 · COMEDK 2019 · Mathematics

$\int e^{x} \cdot x^{5} d x$ is

  • A
    $e^{x}\left[x^{5}+5 x^{4}+20 x^{3}+60 x^{2}+120 x+120\right]+C$
  • B
    $e^{x}\left[x^{5}-5 x^{4}-20 x^{3}-60 x^{2}-120 x-120\right]+C$
  • Correct answer
    C
    $e^{x}\left[x^{5}-5 x^{4}+20 x^{3}-60 x^{2}+120 x-120\right]+C$
  • D
    $e^{x}\left[x^{5}+5 x^{4}+20 x^{3}-60 x^{2}-120 x+120\right]+C$

Solution

Let $I=\int e_{\text {II II }}^{x} \cdot x^{5} d x$ $=x^{5} \cdot e^{x}-\int e^{x} \cdot\left(5 x^{4}\right) d x$ $=x^{5} e^{x}-5 \int e^{x} \cdot x^{4} d x$ $=x^{5} e^{x}-5\left[x^{4} \cdot e^{x}-\int e^{x} \cdot 4 x^{3} d x\right]$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 \int e^{x} \cdot x^{3} d x$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20\left[x^{3} \cdot e^{x}-\int e^{x} \cdot 3 x^{2} d x\right]$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 \int e^{x} \cdot x^{2} d x$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60\left[x^{2} \cdot e^{x}-\int e^{x} \cdot 2 x d x\right]$ $=x^{5} e^{4}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120 \int e^{x} \cdot x d x$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120\left[x e^{x}-\int e^{x} d x\right]$ $=x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120 x e^{x}-120 e^{x}+C$ $=e^{x}\left[x^{5}-5 x^{4}+20 x^{3}-60 x^{2}+120 x-120\right]+C$

Hence, the correct answer is option: 'C'.

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