In a triangle $ABC,$ if $a: b: c=4: 5: 6,$ then $\frac{1}{4R}\left[r_1+r_2+r_3\right]=$

Given, $a:b:c=4:5:6$

Therefore, let sides $a,b,c$ is $4x,5x \& 6x$ respectively.

$\therefore s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4x+5x+6x}{2}=\frac{15x}{2}$

Area of triangle $=∆=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

      $=\sqrt{\frac{15x}{2}\times \left(\frac{15x}{2}-4x\right)\times \left(\frac{15x}{2}-5x\right)\times \left(\frac{15x}{2}-6x\right)}$

       $=\sqrt{\frac{15x}{2}\times \frac{7x}{2}\times \frac{5x}{2}\times \frac{3x}{2}}=\frac{15x^2}{4}\sqrt{7}$

Circumradius$=R=\frac{abc}{4∆}=\frac{4x\times 5x\times 6x\times 4}{4\times 15x^2\sqrt{7}}=\frac{8x}{\sqrt{7}}$

Now, Ex-radii

$r_1=\frac{∆}{s-a}=\frac{{\displaystyle \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}}}{{\displaystyle \frac{15x}{2}}-4x}=\frac{15x^2\sqrt{7}\times 2}{7x\times 4}=\frac{15\sqrt{7}x}{14}$

$r_2=\frac{∆}{s-b}=\frac{{\displaystyle \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}}}{{\displaystyle \frac{15x}{2}-5x}}=\frac{15x^2\sqrt{7}\times 2}{5x\times 4}=\frac{3\sqrt{7}x}{2}$

$r_3=\frac{∆}{s-c}=\frac{{\displaystyle \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}}}{{\displaystyle \frac{15x}{2}-6x}}=\frac{15x^2\sqrt{7}\times 2}{3x\times 4}=\frac{5\sqrt{7}x}{2}$

$\frac{1}{4R}\left[r_1+r_2+r_3\right]=\frac{\sqrt{7}}{4\times 8x}\left(\frac{15\sqrt{7}x}{14}+\frac{3\sqrt{7}x}{2}+\frac{5\sqrt{7}x}{2}\right)$

                                 $=\frac{\sqrt{7}}{4\times 8x}\times \frac{71\sqrt{7}}{14}=\frac{71}{64}$