Q46 / 120 · VITEEE 2006 · Mathematics
If $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\mathrm{y}+\sqrt{1+\mathrm{y}^{2}}$, then the value of $\mathrm{y}$ is
- A$\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$
- Correct answerB$\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right)$
- C$e^{x}-e^{\frac{-x}{2}}$
- D$e^{x}+e^{\frac{-x}{2}}$
Solution
Given $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\mathrm{y}+\sqrt{1+\mathrm{y}^{2}}$ $\Rightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{y}=\sqrt{1+\mathrm{y}^{2}}$
Squaring both side, we have
$\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{y}=1+\mathrm{y}^{2} \\
\Rightarrow 2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{y}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-1 \\
\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-1}{2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}} \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{1}{2}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right]
\end{array}$
Hence, the correct answer is option: 'B'.