Q36 / 75 · JEE Main 2025 (22 Jan Shift 2) · Mathematics

If $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^x=\alpha$, then the value of $\frac{\log _{\mathrm{e}} \alpha}{1+\log _{\mathrm{e}} \alpha}$ equals :

  • A
    $e^{-1}$
  • B
    $\mathrm{e}^2$
  • C
    $e^{-2}$
  • Correct answer
    D
    e

Solution

$\begin{aligned} & \alpha=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{x}}\left(1^{\infty} \text { form }\right) \\ & \therefore \alpha=\mathrm{e}^{\mathrm{L}} \\ & \text { Where } \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)-1\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right) \mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}-\left(\frac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\right)\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(1-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1} \\ & \Rightarrow \mathrm{~L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \cdot 1 \\ & \Rightarrow \mathrm{~L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \\ & \therefore \alpha=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}} \Rightarrow \log \alpha=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \\ & \therefore \text { Required value }=\frac{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}{1+\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}=\mathrm{e}\end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'D'.

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