Q105 / 160 · TS EAMCET 2024 (11 May Shift 1) · Mathematics

If $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin (2 x)}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$, then $\frac{d y}{d x}=$

  • A
    $\frac{6 x \cos (2 x) 3 \sin (2 x)}{x^2 \sin ^2(2 x)}$
  • B
    $\frac{6 x \sin (2 x)-3 \cos (2 x)}{x^2+\sin ^2(2 x)}$
  • C
    $\frac{2 x \cos (2 x)-\sin (2 x)}{x^2+\sin ^2(2 x)}$
  • Correct answer
    D
    $\frac{6 x \cos (2 x)-3 \sin (2 x)}{x^2+\sin ^2(2 x)}$

Solution

$y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin 2 x}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$
Dividing numerator and denominator by $x^3$ $\begin{aligned} & y=\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{\sin ^3(2 x)}{x^3}-\frac{3 \sin 2 x}{x}}{\frac{3 \sin ^2(2 x)}{x^2}-1}\right] \\ & \text { Let } \frac{\sin 2 x}{x}=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2 x}{x}\right) \\ & \Rightarrow \frac{d \theta}{d x}=\frac{1}{1+\left(\frac{\sin 2 x}{x}\right)^2} \times \frac{(2 x \cos 2 x-\sin (2 x))}{x^2} \\ & =\frac{2 x \cos 2 x-\sin 2 x}{x^2+\sin ^2(2 x)} ; \text { Now, } y=\tan ^{-1}\left[\frac{\operatorname{can}^3 \theta-3 \tan \theta}{3 \tan ^2 \theta-1}\right] \\ & =\tan ^{-1}[\tan 3 \theta] \\ & y=3 \theta \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 \frac{d \theta}{d x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{6 x \cos 2 x-3 \sin 2 x}{x^2+\sin ^2(2 x)} . \end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'D'.

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