Q60 / 160 · TS EAMCET 2022 (20 Jul Shift 1) · Mathematics

If $\frac{3 x^2+a x+3}{(2 x+3)\left(x^2+2\right)}=\frac{3}{2 x+3}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{x^2+2}$ then $a(\mathrm{~B}+\mathrm{C})=$

  • A
    -2
  • B
    3
  • C
    -3
  • Correct answer
    D
    2

Solution

$\begin{aligned} & \text {Given } \frac{3 \mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+3}{(2 \mathrm{x}+3)\left(\mathrm{x}^2+2\right)}=\frac{3}{2 \mathrm{x}+3}+\frac{\mathrm{Bx}+\mathrm{C}}{\mathrm{x}^2+2} \\ & \frac{3 \mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+3}{(2 \mathrm{x}+3)\left(\mathrm{x}^2+2\right)}=\frac{\left(\mathrm{x}^2+2\right) \cdot 3+(\mathrm{Bx}+\mathrm{c})(2 \mathrm{x}+3)}{\left(\mathrm{x}^2+2\right)(2 \mathrm{x}+3)} \\ & 3 \mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+3=3 \mathrm{x}^2+6+2 \mathrm{~B} \mathrm{x}^2+3 \mathrm{Bx}+2 \mathrm{Cx}+3 \mathrm{C} \\ & 3 \mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+3=\mathrm{x}^2(3+2 \mathrm{~B})+\mathrm{x}(3 \mathrm{~B}+2 \mathrm{C})+(3 \mathrm{C}+\mathrm{C}) \\ & \text {Compare each coefficient, } \\ & \Rightarrow 3+2 \mathrm{~B}=3\end{aligned}$ $\begin{aligned} & \mathrm{B}=0 \\ & \Rightarrow 3 \mathrm{~B}+2 \mathrm{C}=\mathrm{a} \\ & 3(0)+2 \mathrm{C}=\mathrm{a} \\ & \mathrm{a}=2 \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}}{2} \\ & \Rightarrow 3 \mathrm{C}+6=3 \\ & \Rightarrow \frac{3 \mathrm{a}}{2}+6=3 \\ & \frac{3 \mathrm{a}}{\mathrm{a}^2}=-2 \end{aligned}$ Put the value of $\mathrm{a}$ in $\mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}}{2}$ $\mathrm{C}=\frac{-2}{2}=-1$ Now, $\mathrm{a}(\mathrm{B}+\mathrm{C})=-2(0-1)=2$ Therefore, option (d) is correct.

Hence, the correct answer is option: 'D'.

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