Q113 / 160 · AP EAMCET 2023 (18 May Shift 2) · Mathematics

If [.] denotes the greatest integer function, then $\int_0^{1000} e^{x-[x]} d x=$

  • A
    $\frac{\mathrm{e}^{1000}-1}{1000}$
  • Correct answer
    B
    $1000(\mathrm{e}-1)$
  • C
    $\frac{\mathrm{e}^{1000}-1}{\mathrm{e}-1}$
  • D
    $\frac{\mathrm{e}-1}{1000}$

Solution

$\begin{aligned} & \text {} \int_0^{1000} \mathrm{e}^{\mathrm{x}-[\mathrm{x}]} \mathrm{dx} \\ & =\int_0^1 \mathrm{e}^{\mathrm{x}-0} \mathrm{dx}+\int_1^2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}-1} \mathrm{dx}+\int_2^3 \mathrm{e}^{\mathrm{x}-2} \mathrm{dx}+\ldots+\int_{999}^{1000} \mathrm{e}^{\mathrm{x}-999} \mathrm{dx} \\ & =\left[\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right]_0^1+\left[\mathrm{e}^{\mathrm{x}-1}\right]_1^2+\left[\mathrm{e}^{\mathrm{x}-2}\right]_2^3+\ldots+\left[\mathrm{e}^{\mathrm{x}-999}\right]_{999}^{1000} \\ & =\left[\mathrm{e}-\mathrm{e}^0\right]+\left[\mathrm{e}-\mathrm{e}^0\right]+\left[\mathrm{e}-\mathrm{e}^0\right]+\ldots+\left[\mathrm{e}-\mathrm{e}^0\right]=1000[\mathrm{e}-1]\end{aligned}$

Hence, the correct answer is option: 'B'.

Relevant Questions