Q83 / 225 · JEE Main 2003 · Mathematics

If $\mathrm{f}(\mathrm{y})=\mathrm{e}^{\mathrm{y}}, \mathrm{g}(\mathrm{y})=\mathrm{y} ; \mathrm{y}>0$ and $F(t)=\int_0^{\mathrm{t}} \mathrm{f}(\mathrm{t}-\mathrm{y}) \mathrm{g}(\mathrm{y})$, then

  • A
    $\mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{te}^{-t}$
  • B
    $\mathrm{F}(\mathrm{t})=1-\mathrm{te}^{-t}(1+\mathrm{t})$
  • Correct answer
    C
    $\mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{\mathrm{t}}-(1+\mathrm{t})$
  • D
    $\mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{te}^{\mathrm{t}}$

Solution

$F(t)=\int_0^t f(t-y) g(y) d y$ $=\int_0^t e^{t-y} y d y=e^t \int_0^t e^{-y} y d y$ $=e^t\left[-y e^{-y}-e^{-y}\right]_0^t=-e^t\left[y e^{-y}+e^{-y}\right]_0^t$ $=-e^t\left[t e^{-t}+e^{-t}-0-1\right]=e^t\left[\frac{t+1-e^t}{e^t}\right]=e^t-(1+t)$

Hence, the correct answer is option: 'C'.

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