Q69 / 125 · BITSAT 2012 · Mathematics
Evaluate: $\int \sqrt{\frac{\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}^{3}}} \mathrm{dx}$
- Correct answerA$\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{x^{3 / 2}}{2}\right)+c$
- B$\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(x^{3 / 2}\right)+c$
- C$2 \sin ^{-1}\left(\frac{x^{3 / 2}}{2}\right)+c$
- D$\frac{1}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}^{3 / 2}}{2}\right)+\mathrm{c}$
Solution
$I=\int \sqrt{\frac{x}{4-x^{3}}} d x=\int \frac{\sqrt{x} d x}{\sqrt{4-x^{3}}}$
Here integral of $\sqrt{x}=\frac{2}{3} x^{3 / 2}$ and $4-x^{3}=4-\left(x^{3 / 2}\right)^{2}$
Put $x^{3 / 2}=t \Rightarrow \sqrt{x} d x=\frac{2}{3} d t$
So $I=\frac{2}{3} \int \frac{d t}{\sqrt{4-t^{2}}}=\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{x^{3 / 2}}{2}\right)+c$
Hence, the correct answer is option: 'A'.