Q49 / 90 · KVPY 2012 (SB/SX) · Mathematics
Consider
$\begin{array}{l}
\mathrm{L}=\sqrt[3]{2012}+\sqrt[3]{2013}+\ldots+\sqrt[3]{3011} \\
\mathrm{R}=\sqrt[3]{2013}+\sqrt[3]{2014}+\ldots+\sqrt[3]{3012}
\end{array}$
and $I=\int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} d x$ Then -
- A$\mathrm{L}+\mathrm{R} < 2 \mathrm{I}$
- B$\mathrm{L}+\mathrm{R}>2 \mathrm{I}$
- Correct answerC$\mathrm{L}+\mathrm{R}=2 \mathrm{I}$
- D$\sqrt{\mathrm{LR}}=\mathrm{I}$
Solution
$\mathrm{L}=\sqrt[3]{2012}+\sqrt[3]{2013}+\ldots+\sqrt[3]{3011} \ldots \ldots \ldots (1)$
$\mathrm{R}=\sqrt[3]{2013}+\sqrt[3]{2014}+\ldots+\sqrt[3]{3012} \ldots \ldots (2)$
$\mathrm{I}=\int_{2012}^{3012} \mathrm{x}^{1 / 3} \mathrm{dx}$
Let $f(x)=x^{1 / 3}$
$\mathrm{n}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}}=\frac{3012-2012}{1}=1000$
$\mathrm{I}=\frac{(\mathrm{b}-\mathrm{a})}{\mathrm{n}}[\mathrm{f}(\mathrm{a})+\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{h})+\mathrm{f}(\mathrm{a}+2 \mathrm{~h})+\ldots+\mathrm{f}(\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{h})]$
$=[\mathrm{f}(2010)+\mathrm{f}(2013)+\ldots \ldots+\mathrm{f}(3011)]$
$\mathrm{I}=(2012)^{1 / 3}+(2013)^{1 / 3}+\ldots \ldots . .+(3011)^{1 / 3}$
$2 \mathrm{I}=2(2012)^{1 / 3}+2(2013)^{1 / 3}+\ldots . .+2(3011)^{1 / 3}$
$=(2012)^{1 / 3}+(2012)^{1 / 3}+2(2013)^{1 / 3}+\ldots \ldots .+(2)(3011)^{1 / 3}+(3012)^{1 / 3}-(3012)^{1 / 3}$
$=(2012)^{1 / 3}+\mathrm{L}+\mathrm{R}-(3012)^{1 / 3}$
$2 \mathrm{I} < \mathrm{L}+\mathrm{R}$
Hence, the correct answer is option: 'C'.